Madeni para at\u0131\u015flar\u0131 gibi basit g\u00f6r\u00fcnen rastgele s\u00fcre\u00e7ler, olas\u0131l\u0131k teorisi ve istatistik d\u00fcnyas\u0131nda \u015fa\u015f\u0131rt\u0131c\u0131 derecede karma\u015f\u0131k sorulara yol a\u00e7abilir. Bu makalede, iki farkl\u0131 madeni para dizisi olan “HH” (iki tura) ve “HTH” (tura-yaz\u0131-tura) dizilerinin beklenen ortaya \u00e7\u0131kma s\u00fcrelerini Markov zincirleri (Markov chains) ve beklenen de\u011fer (expected value) kavramlar\u0131 \u00fczerinden kar\u015f\u0131la\u015ft\u0131raca\u011f\u0131z. Sezgisel olarak birbirine yak\u0131n gibi g\u00f6r\u00fcnen bu dizilerin neden farkl\u0131 beklenen de\u011ferlere sahip oldu\u011funu ad\u0131m ad\u0131m a\u00e7\u0131klayacak, bu fark\u0131n ard\u0131ndaki matematiksel mekanizmalar\u0131 ve ger\u00e7ek d\u00fcnya uygulamalar\u0131n\u0131 ke\u015ffedece\u011fiz.<\/p>\n
Bir madeni paray\u0131 art arda att\u0131\u011f\u0131n\u0131z\u0131 hayal edin. Amac\u0131n\u0131z belirli bir diziye ula\u015fmak. \u00d6rne\u011fin, iki tura (HH) veya tura-yaz\u0131-tura (HTH) dizisini elde etmek. Peki, bu iki diziden hangisi ortalama olarak daha az at\u0131\u015fta kar\u015f\u0131m\u0131za \u00e7\u0131kar? \u00c7o\u011fu insan, her ikisinin de benzer uzunlukta olmas\u0131 nedeniyle beklenen at\u0131\u015f say\u0131lar\u0131n\u0131n da benzer olaca\u011f\u0131n\u0131 d\u00fc\u015f\u00fcnebilir. Ancak, olas\u0131l\u0131k teorisi ve Markov zincirleri bize \u015fa\u015f\u0131rt\u0131c\u0131 bir ger\u00e7ek sunar: bu iki dizinin beklenen ortaya \u00e7\u0131k\u0131\u015f s\u00fcreleri birbirinden olduk\u00e7a farkl\u0131d\u0131r. Bu durum, sadece \u015fans oyunlar\u0131nda de\u011fil, finansal piyasalardaki fiyat hareketlerinden biyolojideki genetik dizi analizlerine kadar bir\u00e7ok alanda benzer yan\u0131lg\u0131lara yol a\u00e7abilir. Bu makale, bu sezgisel yan\u0131lg\u0131y\u0131 ortadan kald\u0131rmay\u0131 ve arkas\u0131ndaki derin matematiksel mant\u0131\u011f\u0131 anla\u015f\u0131l\u0131r bir dille a\u00e7\u0131klamay\u0131 hedeflemektedir.<\/p>\n
Konuyu daha iyi anlamak i\u00e7in \u00f6ncelikle temel olas\u0131l\u0131k kavramlar\u0131n\u0131 ve Markov zincirlerinin nas\u0131l \u00e7al\u0131\u015ft\u0131\u011f\u0131n\u0131 anlamam\u0131z gerekiyor. Bir madeni paran\u0131n her at\u0131\u015f\u0131n\u0131n ba\u011f\u0131ms\u0131z oldu\u011fu ve tura ile yaz\u0131 gelme olas\u0131l\u0131klar\u0131n\u0131n e\u015fit oldu\u011fu (yani 1\/2 oldu\u011fu) varsay\u0131m\u0131yla ilerleyece\u011fiz. Bu temel varsay\u0131mlar, karma\u015f\u0131k gibi g\u00f6r\u00fcnen bu t\u00fcr problemleri \u00e7\u00f6zmek i\u00e7in sa\u011flam bir zemin olu\u015fturacakt\u0131r. \u0130lerleyen b\u00f6l\u00fcmlerde, bu temel prensipleri kullanarak HH ve HTH dizileri i\u00e7in beklenen at\u0131\u015f say\u0131lar\u0131n\u0131 ad\u0131m ad\u0131m hesaplayacak ve aralar\u0131ndaki \u00e7arp\u0131c\u0131 fark\u0131n nedenlerini detayland\u0131raca\u011f\u0131z. Ayr\u0131ca, bu t\u00fcr analizlerin g\u00fcnl\u00fck hayat\u0131m\u0131zdaki ve bilimsel \u00e7al\u0131\u015fmalardaki pratik uygulamalar\u0131na da de\u011finece\u011fiz. B\u00f6ylece, sadece bir matematik problemini \u00e7\u00f6zmekle kalmayacak, ayn\u0131 zamanda olas\u0131l\u0131k ve istatisti\u011fin g\u00fcc\u00fcn\u00fc de ke\u015ffetmi\u015f olaca\u011f\u0131z.<\/p>\n
Rastgele s\u00fcre\u00e7leri incelerken kar\u015f\u0131m\u0131za \u00e7\u0131kan en g\u00fc\u00e7l\u00fc ara\u00e7lardan biri Markov zincirleridir (Markov chains). Temel olarak, bir Markov zinciri, gelecekteki bir durumun yaln\u0131zca mevcut duruma ba\u011fl\u0131 oldu\u011fu, ge\u00e7mi\u015f durumlardan ba\u011f\u0131ms\u0131z oldu\u011fu “haf\u0131zas\u0131zl\u0131k” (memoryless) \u00f6zelli\u011fine sahip bir stokastik s\u00fcre\u00e7tir (stochastic process). Ba\u015fka bir deyi\u015fle, sistemin ge\u00e7mi\u015fi, \u015fimdiki durumu bilindi\u011finde gelece\u011fi tahmin etmek i\u00e7in ek bir bilgi sa\u011flamaz. Bu \u00f6zellik, bir\u00e7ok ger\u00e7ek d\u00fcnya senaryosunun modellenmesinde b\u00fcy\u00fck bir basitle\u015ftirme sa\u011flar ve karma\u015f\u0131k sistemlerin analizini m\u00fcmk\u00fcn k\u0131lar.<\/p>\n
Bir Markov zincirini tan\u0131mlamak i\u00e7in iki ana bile\u015fene ihtiyac\u0131m\u0131z vard\u0131r: durumlar (states) ve ge\u00e7i\u015f olas\u0131l\u0131klar\u0131 (transition probabilities). Durumlar, sistemin bulunabilece\u011fi farkl\u0131 halleri temsil eder. \u00d6rne\u011fin, madeni para at\u0131\u015flar\u0131 problemimizde, “hi\u00e7 tura gelmedi”, “son at\u0131\u015f tura geldi” gibi durumlar tan\u0131mlayabiliriz. Ge\u00e7i\u015f olas\u0131l\u0131klar\u0131 ise, bir durumdan ba\u015fka bir duruma ge\u00e7me olas\u0131l\u0131klar\u0131n\u0131 ifade eder. Bu olas\u0131l\u0131klar, bir matris (ge\u00e7i\u015f matrisi) \u015feklinde d\u00fczenlenebilir ve sistemin zaman i\u00e7indeki evrimini bu matrisler arac\u0131l\u0131\u011f\u0131yla takip edebiliriz.<\/p>\n
Madeni para at\u0131\u015flar\u0131 \u00f6rne\u011finde, her at\u0131\u015f ba\u011f\u0131ms\u0131z oldu\u011fu i\u00e7in, bir sonraki at\u0131\u015f\u0131n sonucu sadece mevcut at\u0131\u015f\u0131n sonucuna ba\u011fl\u0131 de\u011fildir, ancak belirli bir diziyi ararken sistemin “ilerlemesi” mevcut duruma ba\u011fl\u0131d\u0131r. \u00d6rne\u011fin, “HH” dizisini ararken, e\u011fer son at\u0131\u015f “H” ise, bir sonraki “H” bizi hedefe ula\u015ft\u0131r\u0131r. Ancak son at\u0131\u015f “T” ise, “HH” dizisine ula\u015fma yolunda hi\u00e7bir ilerleme kaydetmemi\u015f oluruz ve ba\u015ftan ba\u015flamam\u0131z gerekir. Bu t\u00fcr bir durum tabanl\u0131 ilerleme, Markov zincirlerinin kullan\u0131m\u0131n\u0131 son derece uygun hale getirir. Her bir durum, arad\u0131\u011f\u0131m\u0131z dizinin ne kadar\u0131n\u0131 buldu\u011fumuzu veya ne kadar ilerledi\u011fimizi g\u00f6sterir. Bu durumlar aras\u0131nda ge\u00e7i\u015fler, madeni paran\u0131n tura (H) veya yaz\u0131 (T) gelmesine g\u00f6re belirlenir. Bu yap\u0131 sayesinde, belirli bir dizinin ortaya \u00e7\u0131kmas\u0131 i\u00e7in beklenen at\u0131\u015f say\u0131s\u0131n\u0131 hesaplamak i\u00e7in bir denklem sistemi olu\u015fturabiliriz. Bu denklemler, her durumdan hedefe ula\u015fmak i\u00e7in beklenen ek at\u0131\u015f say\u0131s\u0131n\u0131 ifade eder ve bu denklemleri \u00e7\u00f6zerek nihai beklenen de\u011feri buluruz. Markov zincirleri, sadece madeni para at\u0131\u015flar\u0131 gibi basit \u00f6rneklerle s\u0131n\u0131rl\u0131 kalmay\u0131p, hava durumu tahminlerinden hisse senedi fiyat modellerine, genetik dizilim analizlerinden m\u00fc\u015fteri davran\u0131\u015flar\u0131n\u0131 modellemeye kadar geni\u015f bir yelpazede uygulama alan\u0131 bulur. Bu ara\u00e7, rastgelelik ve belirsizlikle ba\u015fa \u00e7\u0131kmak i\u00e7in g\u00fc\u00e7l\u00fc ve esnek bir \u00e7er\u00e7eve sunar.<\/p>\n
Beklenen de\u011fer (expected value), bir rastgele de\u011fi\u015fkenin alaca\u011f\u0131 de\u011ferlerin olas\u0131l\u0131klarla a\u011f\u0131rl\u0131kl\u0131 ortalamas\u0131d\u0131r. Madeni para at\u0131\u015flar\u0131 senaryosunda, beklenen de\u011fer, belirli bir diziye ula\u015fmak i\u00e7in ortalama ka\u00e7 at\u0131\u015f yapmam\u0131z gerekti\u011fini ifade eder. Adil bir madeni para i\u00e7in tura (H) ve yaz\u0131 (T) gelme olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 1\/2’dir. Bu temel bilgi, hesaplamalar\u0131m\u0131z\u0131n ba\u015flang\u0131\u00e7 noktas\u0131d\u0131r. Beklenen de\u011fer hesaplamalar\u0131nda genellikle durum tabanl\u0131 bir yakla\u015f\u0131m kullan\u0131l\u0131r. Bu yakla\u015f\u0131mda, hedefimize ula\u015fma s\u00fcrecindeki farkl\u0131 “ilerleme” a\u015famalar\u0131n\u0131 durumlar olarak tan\u0131mlar\u0131z ve her durumdan hedefimize ula\u015fmak i\u00e7in beklenen ek at\u0131\u015f say\u0131s\u0131n\u0131 bulmaya \u00e7al\u0131\u015f\u0131r\u0131z.<\/p>\n
\u00d6rne\u011fin, sadece tek bir “H” gelmesini bekledi\u011fimiz bir senaryoyu d\u00fc\u015f\u00fcnelim. Ba\u015flang\u0131\u00e7ta hi\u00e7bir “H” g\u00f6rmedik (durum E0). Bir at\u0131\u015f yapar\u0131z (bu 1 at\u0131\u015fa mal olur). E\u011fer “H” gelirse, amac\u0131m\u0131za ula\u015f\u0131r\u0131z ve i\u015fimiz biter. E\u011fer “T” gelirse, hala “H” g\u00f6rmemi\u015f oluruz ve tekrar ba\u015flang\u0131\u00e7 durumuna d\u00f6neriz. Bu durumu bir denklemle ifade edebiliriz:<\/p>\n
Burada:<\/p>\n Bu denklemi \u00e7\u00f6zd\u00fc\u011f\u00fcm\u00fczde:<\/p>\n Yani, tek bir “H” elde etmek i\u00e7in ortalama 2 at\u0131\u015f yapmam\u0131z beklenir. Bu basit \u00f6rnek, daha karma\u015f\u0131k diziler i\u00e7in beklenen de\u011ferleri hesaplamak i\u00e7in kullanaca\u011f\u0131m\u0131z metodolojinin temelini olu\u015fturur. Her bir durum i\u00e7in benzer denklemler kurarak, bir denklem sistemi olu\u015ftururuz ve bu sistemi \u00e7\u00f6zerek nihai beklenen de\u011feri elde ederiz. Bu yakla\u015f\u0131m, Markov zincirlerinin haf\u0131zas\u0131zl\u0131k \u00f6zelli\u011finden ve durum ge\u00e7i\u015flerinden yararlanarak, rastgele olaylar\u0131n uzun vadeli davran\u0131\u015flar\u0131n\u0131 tahmin etmemizi sa\u011flar. \u015eimdi bu temel prensipleri kullanarak HH ve HTH dizilerinin beklenen de\u011ferlerini hesaplayal\u0131m.<\/p>\n “HH” (iki tura) dizisini elde etmek i\u00e7in beklenen at\u0131\u015f say\u0131s\u0131n\u0131, yani E[HH]’yi hesaplamak i\u00e7in Markov zinciri yakla\u015f\u0131m\u0131n\u0131 kullanaca\u011f\u0131z. Bu problem i\u00e7in \u00fc\u00e7 farkl\u0131 durum tan\u0131mlayabiliriz:<\/p>\n \u015eimdi bu durumlar aras\u0131ndaki ge\u00e7i\u015fleri ve beklenen ek at\u0131\u015f say\u0131lar\u0131n\u0131 denklemlerle ifade edelim. Her at\u0131\u015f 1 birim zaman maliyetine sahiptir:<\/p>\n Bu durumda bir at\u0131\u015f yapar\u0131z. E\u011fer H gelirse (olas\u0131l\u0131k 1\/2), EH durumuna ge\u00e7eriz. E\u011fer T gelirse (olas\u0131l\u0131k 1\/2), hala E0 durumunday\u0131z \u00e7\u00fcnk\u00fc “HH” dizisi i\u00e7in bir ilerleme kaydetmedik.<\/p>\n Bu durumda bir at\u0131\u015f yapar\u0131z. E\u011fer H gelirse (olas\u0131l\u0131k 1\/2), “HH” dizisini tamamlar\u0131z ve EHH durumuna ge\u00e7eriz (beklenen ek at\u0131\u015f 0). E\u011fer T gelirse (olas\u0131l\u0131k 1\/2), “HH” dizisi i\u00e7in elde etti\u011fimiz ilk “H”yi kaybetmi\u015f oluruz ve tekrar E0 durumuna d\u00f6neriz.<\/p>\n \u015eimdi bu denklem sistemini \u00e7\u00f6zebiliriz. \u0130kinci denklemi basitle\u015ftirelim:<\/p>\n Bu EH ifadesini birinci denkleme yerine koyal\u0131m:<\/p>\n \u015eimdi E0’\u0131 bulmak i\u00e7in denklemi d\u00fczenleyelim:<\/p>\n Buna g\u00f6re, “HH” dizisini elde etmek i\u00e7in beklenen at\u0131\u015f say\u0131s\u0131 6’d\u0131r. Bu matematiksel sonucu, Python’da basit bir sim\u00fclasyon ile de do\u011frulayabiliriz:<\/p>\n Bu sim\u00fclasyon, teorik olarak buldu\u011fumuz 6 de\u011ferini destekleyecektir. Bu durum, Markov zincirleri ve beklenen de\u011fer hesaplamalar\u0131n\u0131n ne kadar g\u00fc\u00e7l\u00fc ve do\u011fru sonu\u00e7lar verdi\u011fini g\u00f6stermektedir. \u015eimdi, “HTH” dizisi i\u00e7in benzer bir hesaplama yaparak aradaki fark\u0131 daha net anlayal\u0131m.<\/p>\n “HTH” (tura-yaz\u0131-tura) dizisini elde etmek i\u00e7in beklenen at\u0131\u015f say\u0131s\u0131n\u0131, yani E[HTH]’yi hesaplamak da “HH” dizisine benzer bir Markov zinciri yakla\u015f\u0131m\u0131 gerektirir. Ancak, bu dizinin yap\u0131s\u0131 nedeniyle durum tan\u0131mlamalar\u0131 ve denklemler biraz farkl\u0131 olacakt\u0131r. Bu problem i\u00e7in d\u00f6rt farkl\u0131 durum tan\u0131mlayabiliriz:<\/p>\n \u015eimdi bu durumlar aras\u0131ndaki ge\u00e7i\u015fleri ve beklenen ek at\u0131\u015f say\u0131lar\u0131n\u0131 denklemlerle ifade edelim:<\/p>\n Bir at\u0131\u015f yapar\u0131z. H gelirse (olas\u0131l\u0131k 1\/2), EH durumuna ge\u00e7eriz. T gelirse (olas\u0131l\u0131k 1\/2), hala E0 durumunday\u0131z.<\/p>\n Bir at\u0131\u015f yapar\u0131z. T gelirse (olas\u0131l\u0131k 1\/2), EHT durumuna ge\u00e7eriz. H gelirse (olas\u0131l\u0131k 1\/2), bu H, yeni bir “H” ba\u015flang\u0131c\u0131 olarak kabul edilir, dolay\u0131s\u0131yla hala EH durumunday\u0131z (yani, “H” geldi\u011finde, bu H ayn\u0131 zamanda yeni bir HTH aray\u0131\u015f\u0131n\u0131n ba\u015flang\u0131c\u0131 olabilir, \u00f6rne\u011fin HHH… HTH). Bu durum, “HH” hesaplamas\u0131ndan temel bir fark\u0131 g\u00f6sterir.<\/p>\n Bir at\u0131\u015f yapar\u0131z. H gelirse (olas\u0131l\u0131k 1\/2), “HTH” dizisini tamamlar\u0131z ve EHTH durumuna ge\u00e7eriz (beklenen ek at\u0131\u015f 0). T gelirse (olas\u0131l\u0131k 1\/2), “HT” ilerlemesini kaybetmi\u015f oluruz ve tekrar E0 durumuna d\u00f6neriz.<\/p>\n \u015eimdi bu denklem sistemini \u00e7\u00f6zebiliriz. \u00dc\u00e7\u00fcnc\u00fc denklemi basitle\u015ftirelim:<\/p>\n Bu EHT ifadesini ikinci denkleme yerine koyal\u0131m:<\/p>\n EH terimlerini bir araya getirelim:<\/p>\n Son olarak, bu EH ifadesini birinci denkleme yerine koyal\u0131m:<\/p>\n E0’\u0131 bulmak i\u00e7in denklemi d\u00fczenleyelim:<\/p>\n Buna g\u00f6re, “HTH” dizisini elde etmek i\u00e7in beklenen at\u0131\u015f say\u0131s\u0131 10’dur. Bu matematiksel sonucu da Python’da basit bir sim\u00fclasyon ile do\u011frulayabiliriz:<\/p>\n G\u00f6r\u00fcld\u00fc\u011f\u00fc \u00fczere, “HH” i\u00e7in beklenen at\u0131\u015f say\u0131s\u0131 6 iken, “HTH” i\u00e7in bu say\u0131 10’dur. Bu fark, dizilerin i\u00e7 yap\u0131s\u0131ndan kaynaklanan \u00f6nemli bir olas\u0131l\u0131ksal \u00f6zelli\u011fin sonucudur. Bir sonraki b\u00f6l\u00fcmde bu fark\u0131n ard\u0131ndaki temel mekanizmay\u0131, yani “\u00f6rt\u00fc\u015fme” (overlap) kavram\u0131n\u0131 detayl\u0131ca inceleyece\u011fiz.<\/p>\n HH dizisinin beklenen at\u0131\u015f say\u0131s\u0131n\u0131n 6, HTH dizisinin ise 10 olmas\u0131, ilk bak\u0131\u015fta \u015fa\u015f\u0131rt\u0131c\u0131 gelebilir. Her iki dizi de benzer uzunlukta (HH 2, HTH 3) ve e\u015fit olas\u0131l\u0131kl\u0131 at\u0131\u015flarla olu\u015fuyor. Bu fark\u0131n anahtar\u0131, dizilerin kendi kendileriyle olan “\u00f6rt\u00fc\u015fme” (overlap) veya “korelasyon” \u00f6zelliklerinde yatar. Bir dizinin kendisiyle ne kadar iyi \u00f6rt\u00fc\u015ft\u00fc\u011f\u00fc, o diziyi elde etmek i\u00e7in beklenen at\u0131\u015f say\u0131s\u0131n\u0131 do\u011frudan etkiler. Bu durumu daha iyi anlamak i\u00e7in, bir dizinin ba\u015f\u0131ndaki bir k\u0131sm\u0131n\u0131n (\u00f6n ek) ayn\u0131 dizinin sonundaki bir k\u0131sm\u0131yla (son ek) ne kadar e\u015fle\u015fti\u011fine bakar\u0131z.<\/p>\n Basit bir form\u00fcl, adil bir madeni para i\u00e7in belirli bir $S$ dizisini elde etmek i\u00e7in beklenen at\u0131\u015f say\u0131s\u0131n\u0131 ($E_S$) hesaplamam\u0131za yard\u0131mc\u0131 olur:<\/p>\n Burada:<\/p>\n Dizi: HH, Uzunluk (L) = 2<\/p>\n Form\u00fcle g\u00f6re E[HH] = Buradaki \u00f6rt\u00fc\u015fme, “H” geldi\u011finde ve ard\u0131ndan tekrar “H” geldi\u011finde dizinin tamamlanmas\u0131d\u0131r. Ancak, e\u011fer ilk “H” geldi\u011finde, sonraki at\u0131\u015f “T” olursa, t\u00fcm ilerleme kaybedilir ve ba\u015ftan ba\u015flan\u0131r. HH dizisinde, ilk H’yi elde etti\u011fimizde, sonraki H hem diziyi tamamlar hem de yeni bir HH aray\u0131\u015f\u0131n\u0131n ba\u015flang\u0131c\u0131 olabilir (\u00f6rne\u011fin HHH dizisinde ilk HH tamamland\u0131ktan sonraki H, yeni bir HH’nin ba\u015flang\u0131c\u0131d\u0131r). Bu “k\u0131smi ba\u015far\u0131dan hemen tekrar ba\u015far\u0131ya ge\u00e7me” \u00f6zelli\u011fi, beklenen s\u00fcreyi k\u0131salt\u0131r.<\/p>\n Dizi: HTH, Uzunluk (L) = 3<\/p>\n Form\u00fcle g\u00f6re E[HTH] = HTH dizisinde, ilk “H” ve son “H” \u00f6rt\u00fc\u015f\u00fcr, ancak “HT” \u00f6n eki “TH” son ekiyle \u00f6rt\u00fc\u015fmez. Bu, HTH’nin kendi i\u00e7inde HH kadar “verimli” bir \u00f6rt\u00fc\u015fmeye sahip olmad\u0131\u011f\u0131 anlam\u0131na gelir. HTH ararken “HT” elde etti\u011fimizde, bir sonraki at\u0131\u015f H gelirse diziyi tamamlar\u0131z. Ancak, e\u011fer bu noktada T gelirse, t\u00fcm ilerlemeyi kaybeder ve ba\u015ftan ba\u015flar\u0131z (E0 durumuna d\u00f6neriz). Daha da \u00f6nemlisi, HTH ararken “H” elde ettikten sonra tekrar “H” gelirse (yani HH), bu durum HTH dizisi i\u00e7in bir ilerleme sa\u011flamaz. Aksine, sadece yeni bir “H” ba\u015flang\u0131c\u0131 olarak de\u011ferlendirilir ve “HT” a\u015famas\u0131na ge\u00e7emedi\u011fimiz i\u00e7in s\u00fcreci uzat\u0131r. Bu t\u00fcr “bo\u015fa giden” ilerlemeler, HTH dizisinin beklenen s\u00fcresini art\u0131r\u0131r.<\/p>\n \u00d6zetle, HH dizisi, kendisiyle daha fazla \u00f6rt\u00fc\u015fme \u00f6zelli\u011fine sahip oldu\u011fu i\u00e7in (ilk H, ikinci H’yi beklerken ayn\u0131 zamanda yeni bir HH’nin ba\u015flang\u0131c\u0131 olabilir), ortalama olarak daha h\u0131zl\u0131 elde edilir. HTH dizisi ise, kendisiyle daha az \u00f6rt\u00fc\u015ft\u00fc\u011f\u00fc ve ilerlemeyi durduran “yanl\u0131\u015f” at\u0131\u015flara daha duyarl\u0131 oldu\u011fu i\u00e7in, ortalama olarak daha fazla at\u0131\u015f gerektirir. Bu \u00f6rt\u00fc\u015fme mekanizmas\u0131, rastgele dizi beklentilerinin sezgisel olmayan do\u011fas\u0131n\u0131 a\u00e7\u0131klayan temel prensiptir.<\/p>\n Markov zincirleri ve belirli dizi beklentilerinin hesaplanmas\u0131, sadece teorik madeni para at\u0131\u015flar\u0131 problemleriyle s\u0131n\u0131rl\u0131 de\u011fildir; aksine, bir\u00e7ok ger\u00e7ek d\u00fcnya senaryosunda kritik analizler i\u00e7in kullan\u0131l\u0131r. Bu kavramlar, karma\u015f\u0131k sistemlerin zaman i\u00e7indeki davran\u0131\u015flar\u0131n\u0131 modellemek ve gelecekteki olaylar hakk\u0131nda tahminlerde bulunmak i\u00e7in g\u00fc\u00e7l\u00fc bir \u00e7er\u00e7eve sunar.<\/p>\n Finans d\u00fcnyas\u0131nda, hisse senedi fiyat hareketleri veya piyasa trendleri genellikle Markov zincirleri ile modellenir. Bir hisse senedinin fiyat\u0131n\u0131n “y\u00fckseli\u015f”, “d\u00fc\u015f\u00fc\u015f” veya “yatay seyir” gibi durumlar\u0131 aras\u0131nda ge\u00e7i\u015f olas\u0131l\u0131klar\u0131 belirlenebilir. Yat\u0131r\u0131mc\u0131lar, belirli bir fiyat hareket dizisinin (\u00f6rne\u011fin, \u00fc\u00e7 g\u00fcn \u00fcst \u00fcste y\u00fckseli\u015f veya belirli bir “bo\u011fa tuza\u011f\u0131” paterni) ne kadar s\u00fcrede ortaya \u00e7\u0131kaca\u011f\u0131n\u0131 tahmin etmek i\u00e7in beklenen de\u011fer hesaplamalar\u0131n\u0131 kullanabilirler. Bu, al\u0131m sat\u0131m stratejilerinin geli\u015ftirilmesinde ve risk y\u00f6netiminde \u00f6nemli bilgiler sa\u011flar. \u00d6rne\u011fin, bir “y\u00fckseli\u015f-d\u00fc\u015f\u00fc\u015f-y\u00fckseli\u015f” (YDY) paterni arayan bir algoritma, bu paterni elde etmek i\u00e7in beklenen i\u015flem say\u0131s\u0131n\u0131 bilerek stratejisini optimize edebilir.<\/p>\n<\/li>\n Biyolojide, DNA ve RNA dizileri, genetik kodlar\u0131n rastgele bir \u015fekilde dizildi\u011fi uzun zincirlerdir. Belli bir genetik dizinin (\u00f6rne\u011fin, bir genin ba\u015flang\u0131\u00e7 kodonu olan ATG) bir DNA zincirinde ne kadar s\u0131kl\u0131kla veya ne kadar s\u00fcrede ortaya \u00e7\u0131kaca\u011f\u0131 Markov zincirleri ile analiz edilebilir. Bu analizler, genetik hastal\u0131klar\u0131n te\u015fhisinde, protein sentez mekanizmalar\u0131n\u0131n anla\u015f\u0131lmas\u0131nda ve yeni ila\u00e7lar\u0131n geli\u015ftirilmesinde hayati rol oynar. Bir ara\u015ft\u0131rmac\u0131, belirli bir proteinin sentezlenmesi i\u00e7in gerekli olan bir diziye ula\u015fmak i\u00e7in beklenen n\u00fckleotid say\u0131s\u0131n\u0131 hesaplayarak genetik m\u00fchendisli\u011fi \u00e7al\u0131\u015fmalar\u0131na y\u00f6n verebilir.<\/p>\n<\/li>\n Hava durumu modelleri de s\u0131kl\u0131kla Markov zincirlerini kullan\u0131r. Bug\u00fcn\u00fcn hava durumunun (g\u00fcne\u015fli, bulutlu, ya\u011fmurlu) yar\u0131n\u0131n hava durumunu etkileme olas\u0131l\u0131klar\u0131 belirlenir. Bu sayede, belirli bir hava durumu paterninin (\u00f6rne\u011fin, “\u00fc\u00e7 g\u00fcn ard\u0131 ard\u0131na g\u00fcne\u015fli hava” veya “bir haftal\u0131k s\u00fcrekli ya\u011fmur”) ne kadar s\u00fcrede beklendi\u011fi hesaplanabilir. Bu bilgiler, tar\u0131m, turizm ve enerji sekt\u00f6rlerinde planlama yapmak i\u00e7in de\u011ferlidir. Bir \u00e7ift\u00e7i, belirli bir ekim paterni i\u00e7in uygun hava ko\u015fullar\u0131n\u0131n ne kadar s\u00fcrede beklendi\u011fini bilerek ekim zamanlamas\u0131n\u0131 optimize edebilir.<\/p>\n<\/li>\n A\u011f trafi\u011fi ve telekom\u00fcnikasyon sistemlerinde, veri paketlerinin ak\u0131\u015f\u0131 ve a\u011f t\u0131kan\u0131kl\u0131\u011f\u0131 gibi durumlar Markov modelleriyle analiz edilebilir. Belli bir veri paketi dizisinin veya a\u011f durumu paterni (\u00f6rne\u011fin, “paket kayb\u0131-gecikme-paket kayb\u0131”) olu\u015fma s\u0131kl\u0131\u011f\u0131 veya beklenen s\u00fcresi hesaplanarak a\u011f performans\u0131 optimize edilebilir ve ar\u0131zalar\u0131n \u00f6nlenmesi i\u00e7in stratejiler geli\u015ftirilebilir. Bu, \u00f6zellikle ger\u00e7ek zamanl\u0131 uygulamalar ve b\u00fcy\u00fck veri merkezleri i\u00e7in kritik \u00f6neme sahiptir.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n Bu \u00f6rnekler, Markov zincirlerinin ve beklenen de\u011fer analizlerinin sadece soyut matematiksel kavramlar olmad\u0131\u011f\u0131n\u0131, ayn\u0131 zamanda bilimden m\u00fchendisli\u011fe, ekonomiden \u00e7evreye kadar geni\u015f bir yelpazede pratik sorunlar\u0131 \u00e7\u00f6zmek i\u00e7in kullan\u0131lan g\u00fc\u00e7l\u00fc ve esnek ara\u00e7lar oldu\u011funu g\u00f6stermektedir. Bu analizler, belirsizlik alt\u0131ndaki karar alma s\u00fcre\u00e7lerinde daha bilin\u00e7li se\u00e7imler yapmam\u0131za olanak tan\u0131r.<\/p>\n Bu makale boyunca, madeni para at\u0131\u015flar\u0131 gibi basit bir senaryo \u00fczerinden Markov zincirlerinin g\u00fcc\u00fcn\u00fc ve belirli dizi beklentilerini hesaplama y\u00f6ntemlerini inceledik. “HH” ve “HTH” dizileri i\u00e7in yapt\u0131\u011f\u0131m\u0131z hesaplamalar, sezgisel beklentilerimizin aksine, HH’nin ortalama 6 at\u0131\u015fta, HTH’nin ise ortalama 10 at\u0131\u015fta ortaya \u00e7\u0131kt\u0131\u011f\u0131n\u0131 matematiksel olarak g\u00f6sterdi. Bu \u00e7arp\u0131c\u0131 fark\u0131n ard\u0131ndaki temel nedenin, dizilerin kendi i\u00e7lerindeki “\u00f6rt\u00fc\u015fme” (overlap) \u00f6zellikleri oldu\u011funu detayl\u0131ca a\u00e7\u0131klad\u0131k. HH dizisinin kendisiyle daha fazla \u00f6rt\u00fc\u015fme potansiyeline sahip olmas\u0131, onu HTH’ye g\u00f6re daha h\u0131zl\u0131 elde edilebilir k\u0131lmaktad\u0131r.<\/p>\n Markov zincirleri, sadece e\u011flenceli olas\u0131l\u0131k bulmacalar\u0131n\u0131 \u00e7\u00f6zmekle kalmaz, ayn\u0131 zamanda finansal piyasalardaki trend analizlerinden genetik dizilimlerin anla\u015f\u0131lmas\u0131na, hava durumu tahminlerinden a\u011f trafi\u011fi y\u00f6netimine kadar say\u0131s\u0131z ger\u00e7ek d\u00fcnya problemine uygulanabilen temel bir matematiksel ara\u00e7t\u0131r. Bu kavramlar\u0131 anlamak, belirsizli\u011fin ve rastgeleli\u011fin h\u00fck\u00fcm s\u00fcrd\u00fc\u011f\u00fc sistemlerde daha bilin\u00e7li kararlar almam\u0131z\u0131, gelecekteki olaylar\u0131 daha do\u011fru tahmin etmemizi ve karma\u015f\u0131k s\u00fcre\u00e7leri daha etkili bir \u015fekilde y\u00f6netmemizi sa\u011flar. Bu nedenle, Markov zincirleri ve beklenen de\u011fer hesaplamalar\u0131, modern veri bilimi, yapay zeka ve m\u00fchendislik alanlar\u0131nda \u00e7al\u0131\u015fan herkes i\u00e7in vazge\u00e7ilmez bir bilgi birikimidir.<\/p>\n Cevap: Hay\u0131r, Markov zincirleri yaln\u0131zca “haf\u0131zas\u0131zl\u0131k” (memoryless) \u00f6zelli\u011fine sahip s\u00fcre\u00e7lere uygulanabilir. Yani, gelecekteki durumun sadece mevcut duruma ba\u011fl\u0131 oldu\u011fu, ge\u00e7mi\u015f olaylar\u0131n ek bir bilgi sa\u011flamad\u0131\u011f\u0131 durumlarda etkilidir. \u00d6rne\u011fin, bir ki\u015finin ruh hali Markov zinciri olabilirken, bir \u00f6\u011frencinin s\u0131nav notlar\u0131 genellikle de\u011fildir, \u00e7\u00fcnk\u00fc \u00f6nceki notlar gelecekteki notlar\u0131 etkiler.<\/p>\n<\/li>\n Cevap: Madeni para dengeli de\u011filse, tura (H) ve yaz\u0131 (T) gelme olas\u0131l\u0131klar\u0131 1\/2 yerine farkl\u0131 de\u011ferler al\u0131r (\u00f6rne\u011fin, P(H)=0.6, P(T)=0.4). Hesaplama y\u00f6ntemi ayn\u0131 kal\u0131r, ancak denklemlerdeki 1\/2 yerine bu yeni olas\u0131l\u0131k de\u011ferleri kullan\u0131l\u0131r. Bu, beklenen de\u011ferleri de de\u011fi\u015ftirecektir. Genellikle, olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 daha y\u00fcksek olan karakterlerin oldu\u011fu diziler daha \u00e7abuk, olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 daha d\u00fc\u015f\u00fck olan karakterlerin oldu\u011fu diziler ise daha ge\u00e7 ortaya \u00e7\u0131kar.<\/p>\n<\/li>\n Cevap: Daha uzun diziler i\u00e7in hesaplama prensibi ayn\u0131d\u0131r, ancak durum say\u0131s\u0131 artar. Her olas\u0131 \u00f6n ek i\u00e7in bir durum tan\u0131mlaman\u0131z gerekir. Bu durumda, daha b\u00fcy\u00fck bir denklem sistemi olu\u015fur ve bu sistemi elle \u00e7\u00f6zmek yerine genellikle matris cebiri y\u00f6ntemleri veya bilgisayar programlar\u0131 (\u00f6rne\u011fin Python’daki lineer denklem \u00e7\u00f6z\u00fcc\u00fcler) kullan\u0131larak \u00e7\u00f6z\u00fcl\u00fcr.<\/p>\n<\/li>\n Cevap: Evet, adil bir madeni para i\u00e7in HH ve TH dizilerinin beklenen de\u011ferleri ayn\u0131d\u0131r, yani her ikisi de 6’d\u0131r. Bu durum, simetri nedeniyle ortaya \u00e7\u0131kar. TH dizisi i\u00e7in de ayn\u0131 Markov zinciri denklemlerini kurdu\u011funuzda, ayn\u0131 sonucu elde edersiniz. Benzer \u015fekilde, HT ve TT dizilerinin beklenen de\u011ferleri de ayn\u0131d\u0131r.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\nE0 = 1 + (1\/2) * 0 + (1\/2) * E0<\/code><\/p>\n\n
E0<\/code>: “H” gelmesini bekledi\u011fimiz beklenen at\u0131\u015f say\u0131s\u0131.<\/li>\n1<\/code>: Mevcut at\u0131\u015f.<\/li>\n(1\/2) * 0<\/code>: “H” gelme olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 (1\/2) \u00e7arp\u0131 hedefe ula\u015f\u0131ld\u0131\u011f\u0131nda kalan ek at\u0131\u015f say\u0131s\u0131 (0).<\/li>\n(1\/2) * E0<\/code>: “T” gelme olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 (1\/2) \u00e7arp\u0131 tekrar ba\u015flang\u0131\u00e7 durumuna d\u00f6n\u00fcld\u00fc\u011f\u00fcnde beklenen ek at\u0131\u015f say\u0131s\u0131 (E0).<\/li>\n<\/ul>\nE0 = 1 + (1\/2) * E0<\/code>
\n (1\/2) * E0 = 1<\/code>
\n E0 = 2<\/code><\/p>\nE[HH] Hesab\u0131: \u0130ki Tura Dizisinin Beklenen S\u00fcresi Nas\u0131l Bulunur?<\/h2>\n
\n
E0<\/code>: Hen\u00fcz hi\u00e7bir tura (H) gelmedi veya son at\u0131\u015f yaz\u0131 (T) geldi. Hedefe ula\u015fma yolunda herhangi bir ilerleme kaydedilmedi\u011fi ba\u015flang\u0131\u00e7 durumu.<\/li>\nEH<\/code>: Son at\u0131\u015f tura (H) geldi. “HH” dizisinin ilk “H”sini bulduk.<\/li>\nEHH<\/code>: “HH” dizisi elde edildi. Bu durumda ek at\u0131\u015fa gerek yoktur, yani beklenen ek at\u0131\u015f say\u0131s\u0131 0’d\u0131r.<\/li>\n<\/ul>\n\n
E0 = 1 + (1\/2) * EH + (1\/2) * E0<\/code><\/p>\n<\/li>\nEH = 1 + (1\/2) * 0 + (1\/2) * E0<\/code><\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\nEH = 1 + (1\/2) * E0<\/code><\/p>\nE0 = 1 + (1\/2) * (1 + (1\/2) * E0) + (1\/2) * E0<\/code>
\n E0 = 1 + 1\/2 + (1\/4) * E0 + (1\/2) * E0<\/code>
\n E0 = 3\/2 + (3\/4) * E0<\/code><\/p>\nE0 - (3\/4) * E0 = 3\/2<\/code>
\n (1\/4) * E0 = 3\/2<\/code>
\n E0 = 3\/2 * 4<\/code>
\n E0 = 6<\/code><\/p>\n\nimport random\n\ndef simulate_hh():\n count = 0\n sequence = []\n while True:\n count += 1\n coin = random.choice(['H', 'T'])\n sequence.append(coin)\n if len(sequence) >= 2 and sequence[-2:] == ['H', 'H']:\n return count\n\n# Birden fazla deneme ile ortalama alma\nnum_simulations = 100000 # Daha do\u011fru sonu\u00e7 i\u00e7in y\u00fcksek deneme say\u0131s\u0131\ntotal_counts = 0\nfor _ in range(num_simulations):\n total_counts += simulate_hh()\n\n# print(f\"E[HH] i\u00e7in sim\u00fclasyon sonucu: {total_counts \/ num_simulations:.2f} at\u0131\u015f\")\n# Yakla\u015f\u0131k 6.00 \u00e7\u0131kt\u0131s\u0131 beklenir\n <\/code><\/pre>\n<\/p><\/div>\nE[HTH] Hesab\u0131: Tura-Yaz\u0131-Tura Dizisinin Beklenen S\u00fcresi Neden Farkl\u0131d\u0131r?<\/h2>\n
\n
E0<\/code>: Hen\u00fcz hi\u00e7bir tura (H) gelmedi veya son at\u0131\u015f yaz\u0131 (T) geldi ve \u00f6nceki at\u0131\u015flar “HT” dizisine ba\u015flamad\u0131. Hedefe ula\u015fma yolunda herhangi bir ilerleme kaydedilmedi\u011fi ba\u015flang\u0131\u00e7 durumu.<\/li>\nEH<\/code>: Son at\u0131\u015f tura (H) geldi. “HTH” dizisinin ilk “H”sini bulduk.<\/li>\nEHT<\/code>: Son iki at\u0131\u015f “HT” geldi. “HTH” dizisinin ilk iki eleman\u0131n\u0131 bulduk.<\/li>\nEHTH<\/code>: “HTH” dizisi elde edildi. Bu durumda ek at\u0131\u015fa gerek yoktur, yani beklenen ek at\u0131\u015f say\u0131s\u0131 0’d\u0131r.<\/li>\n<\/ul>\n\n
E0 = 1 + (1\/2) * EH + (1\/2) * E0<\/code><\/p>\n<\/li>\nEH = 1 + (1\/2) * EHT + (1\/2) * EH<\/code><\/p>\n<\/li>\nEHT = 1 + (1\/2) * 0 + (1\/2) * E0<\/code><\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\nEHT = 1 + (1\/2) * E0<\/code><\/p>\nEH = 1 + (1\/2) * (1 + (1\/2) * E0) + (1\/2) * EH<\/code>
\n EH = 1 + 1\/2 + (1\/4) * E0 + (1\/2) * EH<\/code>
\n EH = 3\/2 + (1\/4) * E0 + (1\/2) * EH<\/code><\/p>\n(1\/2) * EH = 3\/2 + (1\/4) * E0<\/code>
\n EH = 3 + (1\/2) * E0<\/code><\/p>\nE0 = 1 + (1\/2) * (3 + (1\/2) * E0) + (1\/2) * E0<\/code>
\n E0 = 1 + 3\/2 + (1\/4) * E0 + (1\/2) * E0<\/code>
\n E0 = 5\/2 + (3\/4) * E0<\/code><\/p>\nE0 - (3\/4) * E0 = 5\/2<\/code>
\n (1\/4) * E0 = 5\/2<\/code>
\n E0 = 5\/2 * 4<\/code>
\n E0 = 10<\/code><\/p>\n\nimport random\n\ndef simulate_hth():\n count = 0\n sequence = []\n while True:\n count += 1\n coin = random.choice(['H', 'T'])\n sequence.append(coin)\n if len(sequence) >= 3 and sequence[-3:] == ['H', 'T', 'H']:\n return count\n\n# Birden fazla deneme ile ortalama alma\nnum_simulations = 100000 # Daha do\u011fru sonu\u00e7 i\u00e7in y\u00fcksek deneme say\u0131s\u0131\ntotal_counts = 0\nfor _ in range(num_simulations):\n total_counts += simulate_hth()\n\n# print(f\"E[HTH] i\u00e7in sim\u00fclasyon sonucu: {total_counts \/ num_simulations:.2f} at\u0131\u015f\")\n# Yakla\u015f\u0131k 10.00 \u00e7\u0131kt\u0131s\u0131 beklenir\n <\/code><\/pre>\n<\/p><\/div>\nNeden E[HH] ve E[HTH] Farkl\u0131d\u0131r? \u00d6rt\u00fc\u015fme (Overlap) Mekanizmas\u0131 ve Matematiksel A\u00e7\u0131klama<\/h2>\n
E_S = 2^L + \u03a3_{k=1}^{L-1} 2^k * I(S_k = S_{-k})<\/code><\/p>\n\n
L<\/code>: Dizinin uzunlu\u011fu.<\/li>\n2^L<\/code>: Dizinin rastgele bir \u015fekilde ortaya \u00e7\u0131kmas\u0131 i\u00e7in ortalama at\u0131\u015f say\u0131s\u0131 (\u00f6rt\u00fc\u015fme olmasayd\u0131).<\/li>\nk<\/code>: Dizinin \u00f6n ve son ek uzunlu\u011fu.<\/li>\nI(S_k = S_{-k})<\/code>: Bir g\u00f6sterge fonksiyonudur. E\u011fer dizinin ilk k<\/code> karakteri (\u00f6n ek) son k<\/code> karakteriyle (son ek) e\u015fle\u015fiyorsa 1, e\u015fle\u015fmiyorsa 0 de\u011ferini al\u0131r.<\/li>\n\u03a3<\/code>: Bu terim, dizinin kendisiyle olan t\u00fcm olas\u0131 k\u0131smi \u00f6rt\u00fc\u015fmelerini toplar.<\/li>\n<\/ul>\nHH Dizisi \u0130\u00e7in \u00d6rt\u00fc\u015fme Analizi:<\/h3>\n
\n
\n
I(H = H) = 1<\/code>.<\/li>\n2^1 * 1 = 2<\/code>.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n2^2 + 2 = 4 + 2 = 6<\/code>.<\/p>\nHTH Dizisi \u0130\u00e7in \u00d6rt\u00fc\u015fme Analizi:<\/h3>\n
\n
\n
I(H = H) = 1<\/code>.<\/li>\n2^1 * 1 = 2<\/code>.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n\n
I(HT = TH) = 0<\/code>.<\/li>\n2^2 * 0 = 0<\/code>.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n2^3 + 2 = 8 + 2 = 10<\/code>.<\/p>\nGer\u00e7ek D\u00fcnya Senaryolar\u0131nda Markov Zincirleri ve Dizi Beklentileri Nas\u0131l Uygulan\u0131r?<\/h2>\n
\n
Sonu\u00e7: Markov Zincirleriyle Beklenen De\u011ferleri Anlaman\u0131n \u00d6nemi<\/h2>\n
S\u0131k\u00e7a Sorulan Sorular<\/h3>\n
\n
Soru 1: Markov Zincirleri her rastgele olaya uygulanabilir mi?<\/h4>\n
Soru 2: Madeni para dengeli (adil) de\u011filse (\u00f6rne\u011fin, tura gelme olas\u0131l\u0131\u011f\u0131 %60 ise) beklenen de\u011ferler nas\u0131l de\u011fi\u015fir?<\/h4>\n
Soru 3: Daha uzun diziler (\u00f6rne\u011fin, HHHT) i\u00e7in beklenen de\u011fer nas\u0131l hesaplan\u0131r?<\/h4>\n
Soru 4: HH ve TH dizilerinin beklenen de\u011ferleri ayn\u0131 m\u0131d\u0131r?<\/h4>\n